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在计算x轴下方的面积时需要特别小心。当曲线与x轴围成的区域在x轴下方时，\(\int y dx\) 会给出负值。
Find the area of the finite region bounded by the curve \(y = x(x - 3)\) and the x-axis.
首先画图：
当 \(x = 0\) 时，\(y = 0\)
当 \(y = 0\) 时，\(x = 0\) 或 3
曲线是V形，在0和3处与x轴相交。
面积计算：
\(\text{Area} = \int_0^3 x(x - 3) dx\)
\(= \int_0^3 (x^2 - 3x) dx\)
\(= \left[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\right]_0^3\)
\(= \left(\frac{27}{3} - \frac{27}{2}\right) - (0 - 0)\)
\(= -\frac{27}{6}\) 或 \(-\frac{9}{2}\) 或 -4.5
由于面积在x轴下方，定积分为负值。所以面积为4.5（取绝对值）。
当区域跨越x轴时，需要特别小心处理。下图显示了跨越x轴的阴影区域：
Sketch the curve with equation \(y = x(x - 1)(x + 3)\) and find the area of the finite region bounded by the curve and the x-axis.
首先找出曲线与坐标轴的交点：
当 \(x = 0\) 时，\(y = 0\)
当 \(y = 0\) 时，\(x = 0, 1\) 或 -3
当 \(x \to \infty\) 时，\(y \to \infty\)
当 \(x \to -\infty\) 时，\(y \to -\infty\)
面积计算：
面积 = \(\int_{-3}^0 y dx - \int_0^1 y dx\)
\(\int y dx = \int (x^3 + 2x^2 - 3x) dx\)
\(= \left[\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\right]\)
\(\int_{-3}^0 y dx = (0) - \left(\frac{81}{4} - \frac{2}{3} \times 27 - \frac{3}{2} \times 9\right)\)
\(= \frac{45}{4}\)
\(\int_0^1 y dx = \left(\frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{3}{2}\right) - (0)\)
\(= -\frac{7}{12}\)
所以所需面积为：\(\frac{45}{4} + \frac{7}{12} = \frac{71}{6}\)
错误做法：如果试图将跨轴区域作为单个定积分计算，正值和负值面积会部分相互抵消。
正确做法：必须分段计算，分别处理x轴上方和下方的区域。